Решето Ератосфена. Прості числа.

Решето Ератосфена.Прості числа

Автор статті : Олійниченко Данило.

Тема дослідження 

Проблема дослідження

Решето́ Ератосфе́на в математиці — простий стародавній алгоритм знаходження всіх простих чисел менших деякого цілого числа , що був створений давньогрецьким математиком Ератосфеном.

Гіпотеза дослідження

Ми освоемо метод "Решета Ератосфена" для находження простих чисел,але,скоріш за все, не зможемо знайти найбільше просте число.

Мета дослідження

Я спробую пояснити закономірність знаходження простих чисел через освоєння методу "Решето Ератосфена".

Хід і результати дослідження 

Якщо потрібно знайти всі прості числа менші за певне число N, виписуються всі числа від 1 до N.

1. Перше просте число - два. Викреслимо всі числа більші двох, які діляться на два (4, 6, 8 …).
2. Наступне число, яке залишилося незакресленим (три), є простим. Викреслюємо всі числа більші трьох та кратні трьом (6, 9 …).
3. Наступне незакреслене число (п'ять) є простим. Викреслимо всі числа більші п'яти та кратні п'яти (10, 15, 20, 25 …).
4. Повторюємо операцію поки не буде досягнуто число N:
   • Наступне незакреслене число є простим. Викреслимо всі числа більші нього та кратні йому.

Числа, які залишилися незакресленими після цієї процедури - прості.

Розглянемо приклад для n = 20

Запишемо натуральні числа від 2 до 20 в рядок:

  2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20

Перше число в рядку 2 — просте. Викреслимо всі числа кратні 2 (кожне друге, починаючи з {\displaystyle 2^{2}=4}):

  2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20

Наступне незакреслене число 3 — просте. Викреслимо всі числа кратні 3 (кожне третє, починаючи з {\displaystyle 3^{2}=9}):

  2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20

Наступне незакреслене число 5 — просте. Викреслимо всі числа кратні 5 

1/1

(кожне п’яте, починаючи з {\displaystyle 5^{2}=25}). І т. д.

Необхідно викреслити кратні для всіх простих чисел {\displaystyle p}, для яких {\displaystyle p^{2}\leq n}. В результаті всі складені числа будуть викреслені, а залишаться всі прості числа. Для {\displaystyle n=20} вже після викреслювання кратних числу 3 всі складені числа виявляються викресленими.

Алгоритм решета Ератосфена у вигляді програми на псевдокоді для пошуку простих чисел менших

1 000 000 :

limit = 1000000
 // початково вважаємо, що всі числа прості
 // присвоєння змінній типу стрічка символів ''sieve$''  рядка, який складається з 1000000 літер "Р",
 sieve$ = string of the character "P" with length limit
 
 prime = 2  // 2 – перше просте число
 
 repeat while prime² < limit 
 // зміна літер "Р", порядковий номер (індекс) яких кратний ''prime'' (за виключенням індекса ''prime''), на "N" 
 set the character at the index of each multiple of ''prime'' (excluding index ''prime'' * 1) in ''sieve$'' to "N"
 // змінній ''prime'' присвоюється індекс наступної "Р" в стрічці ''sieve$''
 prime = index of the next instance of "P" in ''sieve$'' after index ''prime''
 end repeat

Висновки 

Мені дуже сподобалося проводити дослідження з простими чісламі.Я спробував «вловити», відсіяти прості числа від складових, користуючись «Решетом Ератосфена»

Корисні ресурси 

Weisstein, Eric W. Sieve of Eratosthenes(англ.) на сайті Wolfram MathWorld. Доповнення до статті